Calcul des Aciers Longitudinaux à l’ELU en Flexion Simple : Méthode Eurocode 2 & BAEL 91 (PDF + Exemple)

Le calcul des aciers longitudinaux à l’État Limite Ultime (ELU) en flexion simple est l’une des étapes fondamentales du dimensionnement des structures en béton armé (poutres, nervures, dalles). Cette méthode permet de déterminer la section d’armatures tendues nécessaire pour équilibrer le moment fléchissant sollicitant de calcul sans rupture du béton comprimé ni plastification excessive des armatures.

Résumé Exécutif : Formule et Démarche Clé

Pour une section rectangulaire de largeur b et de hauteur utile d soumise à un moment fléchissant ultime M_Ed, le dimensionnement s’effectue en calculant le moment réduit ultime μ = M_Ed / (b · d² · f_cd). Si μ ≤ μ_lu (moment réduit limite), la section ne nécessite pas d’armatures comprimées et la section d’aciers tendus est donnée par :

A_s = M_Ed / (z · f_yd)
avec z = d · (1 – 0,4 α) et α = 1,25 · (1 – √(1 – 2μ))

1. Hypothèses Fondamentales de Calcul (Eurocode 2 & BAEL 91)

Le calcul des sections en béton armé sollicitées en flexion simple à l’ELU repose sur les principes physiques et normatifs suivants (définis par l’Eurocode 2 – NF EN 1992-1-1 et historiquement par le BAEL 91 révisé 99) :

• Hypothèse de Navier-Bernoulli : Les sections droites restent planes et normales à la fibre moyenne après déformation (déformation proportionnelle à la distance à l’axe neutre).
• Adhérence parfaite : Aucun glissement relatif ne se produit entre les armatures en acier et le béton environnant.
• Béton tendu négligé : La résistance du béton à la traction est considérée comme nulle dans le calcul de la résistance mécanique ultime.
• Diagramme contrainte-déformation du béton : Le comportement du béton comprimé est modélisé soit par le diagramme parabole-rectangle, soit par le diagramme rectangulaire simplifié d’amplitude f_cd = α_cc · f_ck / γ_c (avec γ_c = 1,5 en situation durable).
• Diagramme contrainte-déformation de l’acier : Modèle élasto-plastique parfait avec un module d’élasticité E_s = 200 000 MPa et une limite d’élasticité de calcul f_yd = f_yk / γ_s (avec γ_s = 1,15).
• Domaine des pivots : Le dimensionnement en flexion simple s’opère dans le Pivot A (allongement de l’acier limité à ε_ud) ou le Pivot B (raccourcissement du béton comprimé limité à ε_cu2 = 3,5 ‰).

2. Méthode de Calcul Pas-à-Pas (Section Rectangulaire)

Pour dimensionner une poutre rectangulaire soumise à un moment ultime M_Ed, appliquez l’algorithme normatif en 5 étapes successives :

Étape 1 : Caractéristiques Géométriques et Matériaux

Relevez la largeur de la section b, la hauteur totale h, et la hauteur utile d (estimée en première approche à d ≈ 0,9 · h). Calculez la résistance de calcul du béton f_cd et de l’acier f_yd :

• f_cd = (1,0 · f_ck) / 1,5 (ex: pour un béton C25/30, f_cd = 25 / 1,5 = 16,67 MPa).
• f_yd = f_yk / 1,15 (ex: pour un acier B500B, f_yd = 500 / 1,15 = 434,78 MPa).

Étape 2 : Calcul du Moment Réduit Ultime (μ)

Le moment réduit ultime mesure le taux de sollicitation du béton comprimé :

μ = M_Ed / (b · d² · f_cd)

Étape 3 : Comparaison au Moment Réduit Limite (μ_lu)

Comparez la valeur de μ au moment réduit limite μ_lu (également noté μ_AB, valant 0,372 pour un acier classe B500B selon l’Eurocode 2, ou 0,392 sous le BAEL 91 pour FeE400) :

• Cas 1 : μ ≤ μ_lu (Section simplement armée) : Le béton comprimé est suffisant pour reprendre la compression. Aucune armature comprimée n’est requise (A’_s = 0). L’acier tendu travaille à sa limite d’élasticité f_yd.
• Cas 2 : μ > μ_lu (Section doublement armée) : Le béton comprimé ne suffit pas. Deux solutions sont possibles : augmenter les dimensions du coffrage (b ou h), ou placer des armatures comprimées A’_s en partie supérieure.

Étape 4 : Détermination du Bras de Levier (z) et de la Position de l’Axe Neutre (α)

Dans le cas d’une section simplement armée (μ ≤ μ_lu) :

• Position relative de l’axe neutre : α = 1,25 · (1 – √(1 – 2μ))
• Profondeur réelle de l’axe neutre : x_u = α · d
• Bras de levier des forces internes : z = d · (1 – 0,4 · α)

Étape 5 : Calcul de la Section d’Acier Tendu (A_s)

La section d’armatures longitudinales nécessaire s’obtient par la relation d’équilibre des moments :

A_s = M_Ed / (z · f_yd)

Étape 6 : Condition de Non-Fragilité et Ferraillage Minimal (A_s,min)

Selon l’Eurocode 2 (clause 9.2.1.1), la section réelle d’acier retenue doit être au moins égale à la section minimale de non-fragilité pour prévenir toute rupture brutale dès l’apparition de la première fissure :

A_s,min = max [ 0,26 · (f_ctm / f_yk) · b · d ; 0,0013 · b · d ]

Section finale à poser : A_s,retenu = max(A_s, A_s,min).

3. Exemple Numérique d’Application

Soit une poutre rectangulaire de bâtiment soumise à un moment fléchissant ultime M_Ed = 140 kNm (0,140 MNm) :

• Dimensions : Largeur b = 0,25 m, Hauteur totale h = 0,55 m, Hauteur utile d = 0,50 m.
• Matériaux : Béton C25/30 (f_ck = 25 MPa → f_cd = 16,67 MPa, f_ctm = 2,6 MPa) et Acier B500B (f_yk = 500 MPa → f_yd = 434,78 MPa).

Calcul détaillé :

1. Moment réduit ultime : μ = 0,140 / (0,25 · 0,50² · 16,67) = 0,1344.
2. Vérification : μ = 0,1344 < μ_lu (0,372) → Section simplement armée, pas besoin d’aciers comprimés.
3. Paramètre α : α = 1,25 · (1 – √(1 – 2 · 0,1344)) = 0,1811.
4. Bras de levier z : z = 0,50 · (1 – 0,4 · 0,1811) = 0,4638 m.
5. Section d’armatures A_s : A_s = 0,140 / (0,4638 · 434,78) = 0,000694 m² = 6,94 cm².
6. Section minimale A_s,min : 0,26 · (2,6 / 500) · 0,25 · 0,50 = 1,69 cm². Comme 6,94 > 1,69 cm², la section de calcul est retenue.
7. Choix pratique des barres : Soit 3 HA 16 + 1 HA 14 (7,57 cm²) ou 4 HA 16 (8,04 cm²).

Foire Aux Questions (FAQ Technique)

Quelle est la différence fondamentale entre la méthode Eurocode 2 et le BAEL 91 en flexion simple ?
Sous le BAEL 91, la contrainte de calcul du béton est f_bu = 0,85 · f_c28 / γ_b avec un moment réduit critique μ_lu d’environ 0,392 (pour FeE400). L’Eurocode 2 adopte le coefficient α_cc = 1,0 pour la résistance à long terme, aboutissant à f_cd = f_ck / γ_c et à un moment réduit limite de 0,372 pour les aciers courants S500.

Que faire si le moment réduit μ dépasse la valeur limite μ_lu ?
Si μ > μ_lu, la section de béton est insuffisante pour équilibrer la compression sans rupture fragile. Les ingénieurs privilégient généralement l’augmentation de la hauteur utile d ou de la largeur b de la poutre pour rester en section simplement armée. Si le gabarit architectural est contraint, on place des armatures comprimées A’_s dans la zone comprimée.

Comment estimer la hauteur utile d en phase d’avant-projet ?
En phase de prédimensionnement, la hauteur utile d est couramment estimée à 0,9 · h (où h est la hauteur totale du coffrage). Lors du ferraillage final, d est recalculé précisément : d = h – c – Φ_t – Φ_l / 2, où c est l’enrobage nominal et Φ les diamètres des aciers transversaux et longitudinaux.